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Was macht das reelle Zahlensystem aus?

Die reellen Zahlen sind alle Zahlen auf einer Zahlenlinie, die sich von der negativen Unendlichkeit über Null bis zur positiven Unendlichkeit erstreckt.

Diese Konstruktion der Menge reeller Zahlen ist nicht willkürlich, sondern das Ergebnis einer Entwicklung der natürlichen Zahlen, die zum Zählen verwendet werden. Das System der natürlichen Zahlen weist mehrere Inkonsistenzen auf, und als die Berechnungen komplexer wurden, wurde das Zahlensystem erweitert, um seine Grenzen zu beseitigen. Bei reellen Zahlen liefern Berechnungen konsistente Ergebnisse, und es gibt nur wenige Ausnahmen oder Einschränkungen, wie sie bei den primitiveren Versionen des Zahlensystems vorhanden waren. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus allen Zahlen in einer Zahlenreihe.

Dies schließt natürliche Zahlen, ganze Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und irrationale Zahlen ein. Es enthält keine imaginären oder komplexen Zahlen. Das Schließen ist die Eigenschaft eines Satzes von Zahlen. Wenn also zulässige Berechnungen für Zahlen durchgeführt werden, die Mitglieder des Satzes sind, sind die Antworten auch Zahlen, die Mitglieder des Satzes sind. Das Set soll geschlossen sein.

Natürliche Zahlen sind die Zählzahlen 1, 2, 3 ... Da natürliche Zahlen im Handel verwendet wurden, traten sofort zwei Probleme auf. Während die natürlichen Zahlen reale Objekte zählten, zum Beispiel Kühe, gab es keine natürliche Zahl für das Ergebnis, wenn ein Landwirt fünf Kühe hatte und fünf Kühe verkaufte. Frühe Zahlensysteme entwickelten sehr schnell einen Begriff für Null, um dieses Problem anzugehen. Das Ergebnis war das System ganzer Zahlen, dh der natürlichen Zahlen plus Null.

Das zweite Problem war auch mit der Subtraktion verbunden. Solange die Zahlen echte Objekte wie Kühe zählten, konnte der Landwirt nicht mehr Kühe verkaufen als er hatte. Aber als Zahlen abstrakt wurden, gab das Subtrahieren größerer Zahlen von kleineren Antworten außerhalb des Systems ganzer Zahlen. Infolgedessen wurden ganze Zahlen eingeführt, bei denen es sich um ganze Zahlen plus negative natürliche Zahlen handelt. Das Zahlensystem enthielt jetzt eine vollständige Zahlenreihe, jedoch nur mit ganzen Zahlen.

Berechnungen in einem geschlossenen Zahlensystem sollten Antworten aus dem Zahlensystem für Operationen wie Addition und Multiplikation, aber auch für ihre inversen Operationen, Subtraktion und Division geben.

Das System der ganzen Zahlen ist für Addition, Subtraktion und Multiplikation geschlossen, jedoch nicht für Division. Wenn eine Ganzzahl durch eine andere Ganzzahl geteilt wird, ist das Ergebnis nicht immer eine Ganzzahl. Das Teilen einer kleinen Ganzzahl durch eine größere ergibt einen Bruchteil.

Solche Brüche wurden dem Zahlensystem als rationale Zahlen hinzugefügt. Rationale Zahlen sind definiert als jede Zahl, die als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann. Jede beliebige Dezimalzahl kann als rationale Zahl ausgedrückt werden. Zum Beispiel 2. Die Zahlenreihe schien nun vollständig zu sein. Es gibt Zahlen in der Zahlenreihe, die nicht als Bruchteil von ganzen Zahlen ausgedrückt werden können. Eines ist das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zur Hypotenuse.

Wenn zwei der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks 1 und 1 sind, ist die Hypotenuse die Quadratwurzel von 2. Die Quadratwurzel von zwei ist eine unendliche Dezimalstelle, die sich nicht wiederholt. Solche Zahlen werden als irrational bezeichnet und umfassen alle reellen Zahlen, die nicht rational sind. Mit dieser Definition ist die Zahlenreihe aller reellen Zahlen vollständig, da jede andere reelle Zahl, die nicht rational ist, in der Definition von irrational enthalten ist.

Obwohl gesagt wird, dass sich die reelle Zahlenlinie von der negativen zur positiven Unendlichkeit erstreckt, ist die Unendlichkeit selbst keine reelle Zahl, sondern ein Konzept des Zahlensystems, das sie als eine Größe definiert, die größer als jede Zahl ist. Wenn Unendlichkeit eine Zahl wäre, würde dies zu Widersprüchen führen, da Unendlichkeit nicht den Gesetzen der Arithmetik folgt. Zum Beispiel ist unendlich plus 1 immer noch unendlich. Die Menge der reellen Zahlen wird für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division geschlossen, mit Ausnahme der Division durch Null, die nicht definiert ist.

Das Set ist für mindestens eine weitere Operation nicht geschlossen. Die Multiplikationsregeln in der Menge der reellen Zahlen geben an, dass die Multiplikation einer negativen und einer positiven Zahl eine negative Zahl ergibt, während die Multiplikation von positiven oder negativen Zahlen positive Antworten ergibt.

Dies bedeutet, dass der Sonderfall des Multiplizierens einer Zahl mit sich selbst eine positive Zahl sowohl für positive als auch für negative Zahlen ergibt. Die Umkehrung dieses Sonderfalls ist die Quadratwurzel einer positiven Zahl, die sowohl eine positive als auch eine negative Antwort gibt. Für die Quadratwurzel einer negativen Zahl gibt es keine Antwort in der Menge der reellen Zahlen. Das Konzept der Menge der imaginären Zahlen befasst sich mit dem Problem der negativen Quadratwurzeln in den reellen Zahlen. Die Quadratwurzel von minus 1 ist als i definiert und alle imaginären Zahlen sind Vielfache von i.

Um die Zahlentheorie zu vervollständigen, wird die Menge der komplexen Zahlen so definiert, dass sie alle reellen und alle imaginären Zahlen enthält. Reelle Zahlen können weiterhin auf einer horizontalen Zahlenlinie visualisiert werden, während imaginäre Zahlen eine vertikale Zahlenlinie sind, wobei sich die beiden bei Null schneiden.

Komplexe Zahlen sind Punkte in der Ebene der beiden Zahlenlinien mit jeweils einer reellen und einer imaginären Komponente. Bert Markgraf ist ein freiberuflicher Schriftsteller mit einem starken naturwissenschaftlichen und technischen Hintergrund. Online hat er ausführlich über naturwissenschaftliche Themen in Mathematik, Physik, Chemie und Biologie geschrieben und wurde auf Websites wie Digital Landing and Reference veröffentlicht. Über den Autor.

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